CONTOH KASUS OPTIMASI SISTEM LINEAR (TUGAS I OPTIMASI STL)

                                         KASUS I : JALAN KOTE DAN ROTI MAROS

Sebuah usaha Kue, setiap hari akan menjual x buah roti maros dan y buah jalang kote dengan keuntungan masing-masing Rp 500 dan Rp 150 per buah, dalam membuat roti maros dan jalan kote dibatasi kendala bahan tepung dan telur, dimana jumlah tepung maksimum yang bisa digunakan tiap hari sebanyak 35 kg, sedangkan jumlah telur maksimum 200 butir per hari. Diketahui bahwa untuk membuat sebuah roti maros dibutuhkan 0,2 kg tepung dan 0,5 butir telur, sedangkan untuk membuat jalang kote dibutuhkan 0,02 kg tepung dan 0,2 butir telur. Tentukan jumlah jalan kote dan roti maros yang harus dibuat (dijual) agar diperoleh keuntungan maksimum.

Penyelesaian:

Dari soal cerita diatas, kita terjemahkan kedalam model matematis sebagai berikut :

Misalkan :
x = roti maros dan y = jalang kote
J = Keuntungan total per hari
P = Keuntungan penjualan satu buah roti maros= Rp500
Q = Keuntungan penjualan satu buah jalang kote = Rp150
M = Jumlah maks. tepung yang tersedia = 35 kg/hari
N = Jumlah maks. telur yang tersedia = 200 butir/hari
m1 = Jumlah tepung yang digunakan untuk membuat satu buah roti maros = 0,2 kg
n1 = Jumlah telur yang digunakan untuk membuat satu buah roti maros = 0,5 butir
m2 = Jumlah tepung yang dibutuhkan untuk membuat satu buah jalang kote = 0,02 kg
n2 = Jumlah telur yang digunakan untuk membuat satu buah jalang kote = 0,2 butir

Secara matematis keuntungan total per hari ( fungsi tujuan ) dapat dituliskan sebagai berikut :

J(x,y) = Px + Qy = 500x + 150y

Sedangkan fungsi kendala dapat dinyatakan dengan pertidaksamaan sebagai berikut:
  •  Kendala tepung : m1x + m2y  M <=  atau 0.2x + 0.02y <= 35
  •  Kendala telur : n1x + n2y <= N   atau 0.5x + 0.2y <= 200

Kasus diatas akan diselesaikan dengan metode grafik, langkah pertama dalam menyelesaikan metode grafik yaitu dengan menggambarkan fungsi kendala secara grafik, untuk menggambar maka kita akan mencari titik potong dari kedua sumbu persamaan garis dari fungsi kendala berikut :


  • Kendala tepung y = -(m1/m2)x + (M/m2)   -->    y = -10x + 1750
    itik potong sumbu x = ( 175 ,  0 )
    titik potong sumbu y = ( 0 , 1750 )
  • Kendala telur y = -(n1/n2)x + (N/n2)  --> y = -2,5x + 1000
    titik potong sumbu x = ( 400 ,  0 )
    titik potong sumbu y = ( 0 , 1000)
    Gambar grafiknya adalah:
     

    Berdasarkan grafik diatas, daerah yang memenuhi syarat sebagai ”feasible solution” adalah daerah II (bidang 0ABC) sebab daerah tersebut memenuhi syarat batas kendala jumlah telur maupun tepung yang tersedia setiap hari. Untuk menentukan solusi yang optimal, ada dua cara yang bisa digunakan yaitu

    1)       Dengan menggunakan garis profit ( profit line )
    2)       Dengan titik sudut (corner point)

    A.   Dengan menggunakan garis profit ( profit line )

    Penyelesaian dengan menggunakan garis profit adalah penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kanan sampai  menyinggung titik terjauh dari dari titik nol  ( untuk Fungsi Tujuan Maksimasi), tetapi masih berada pada area layak (feasible  region). Untuk menggambarkan garis profit, kita mengganti nilai J(x,y) dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi profit. Pada kasus ini persamaan dibuat J(x,y) = 0, sehinga diperoleh pesamaan garis dari  fungsi tujuan sebagai berikut :
    J(x,y)    = 500x + 150y
                J(x,y)    = 0  --> 500x + 150y = 0  --> y = - 10/3 x     
    titik potong sumbu x = ( -10/3 ,  0 )
    titik potong sumbu y = ( 0 , 0 )
    Dengan membuat garis-garis yang sejajar dengan garis y =-10/3x ke atas menjauhi titik nol , maka titik terjauh pada bidang 0ABC yang berimpit dengan garis fungsi tujuan tersebut adalah titik B. Oleh karena itu, titik optimum adalah titik B.
     Karena titik B merupakan titik potong antara garis kendala tepung dan garis kendala telur, maka  koordinat titik B dapat ditentukan dengan metode Eliminasi, sebagai berikut :
     Kendala tepung              y = -10x + 1750
     Kendala telur                 y = -2,5x + 1000   - (diperkurangkan)
                                          0 = -7,5x + 750  --> x = 100                        
                                                                                   
    Substitusi nilai x ke salah satu  persamaan kendala, misal pada persamaan kendala tepung diperoleh:
    y = -10(100) + 1750  --> y = 750

    sehingga kordinat titik B (100,750 ) yang merupakan titik optimum, yang berarti bahwa untuk mendapatkan keuntungan maksimum maka harus dibuat 100 buah  roti maros dan 750 buah jalang kote. Untuk menentukan keuntungan maksimum yang diperoleh setiap harinya, maka nilai x dan y tersebut dimasukkan ke dalam fungsi tujuan:
    J(x,y)    = 500x + 150y
                = 500 (100) + 150 (750)
                =Rp162.500
      
    B.   Dengan titik sudut (corner point)
    Penyelesaian  dengan  menggunakan  titik  sudut  (corner  point)  artinya  kita harus  mencari nilai tertinggi dari titik-titik yang berada pada area layak (feasible region). Dari grafik, dapat dilihat bahwa ada 4 titik yang membatasi area layak, yaitu titik 0 (0, 0), A (0, 1000), B (100, 750), daC (175, 0).
    • Keuntungan pada titik O (0, 0) adalah (500 x 0) + (150 x 0) = Rp 0,-.
    • Keuntungan pada titik A (0, 1000) adalah (500 x 0) + (150 x 1000) = Rp150.000,-.
    • Keuntungan pada titik B (100,  750) adalah (500 x 100 ) + (150 x 750) =Rp162.500,-.
    • Keuntungan pada titik C (175, 0) adalah (500 x 175) + (150 x 0) = Rp87.500,-
    Karena keuntungan tertinggi jatuh pada titik B, maka sebaiknya membuat sebanyak 100 buah roti maros dan  sebanyak 750 buah jalang kote, dan diperoleh keuntungan optimal sebesar Rp162.500.


    KASUS II :  COTO DAN SOP SAUDARA

    Menurut para ahli gizi, bahwa untuk tetap sehat seseorang harus mengkonsumsi  makanan untuk memenuhi kebutuhan gizinya dengan kandungan karbohidrat minimal 200 gram/pekan, kandungan lemak maksimum 250 gram/pekan dan kandungan protein minimum 200 gram/pekan. Misalkan, seorang mahasiswa dalam memenuhi kebutuhan gizinya tersebut, tiap pekan  menganggarkan paling banyak Rp100.000 untuk membeli x porsi coto dan y porsi sop saudara. Tentukan jumlah porsi coto dan sop saudara yang harus dikonsumsi dengan biaya paling kecil yang harus dikeluarkan oleh mahasiswa tersebut agar kebtutuhan gizinya tetap terpenuhi.

    Dimana :
    ·         Harga 1 porsi coto = Rp5000
    ·         Harga 1 porsi sop saudara =Rp10000
    ·         Kandungan coto dan sop saudara per porsinya adalah:
    Komponen                 Coto          Sop saudara
    Karbohidrat (gram)         20                     30
    Lemak (gram)                15                     15
    Protein (gram)                 25                    25

    Penyelesaian:

    Dari soal cerita diatas,  kita terjemahkan kedalam model matematis sebagai berikut :

    Misalkan :
    x      = coto & y = sop saudara
    K     = Karbohidrat minimum. yang harus dikonsumsi ≥ 200 gram/pekan
    L      = Lemak maks. yang harus dikonsumsi ≤ 250 gram/pekan
    M     = Protein minimum yang harus dikonsumsi  ≤ 200 gram/pekan
    k1         = Kandungan karbohidrat coto per porsi = 20 gram
    l1           =  Kandungan lemak coto per porsi  = 15 gram
    m1   = Kandungan protein coto per porsi = 25 gram
    k2         = Kandungan karbohidrat sop saudara per porsi = 30 gram
    l2           =  Kandungan karbohidrat sop saudara per porsi = 15 gram
    m2   = Kandungan karbohidrat sop saudara per porsi = 25 gram
    J      = Biaya Konsumsi per pekan
    P     =  Harga 1 porsi coto = Rp5000
    Q     =  Harga 1 porsi sop saudara = Rp10000
    R     = Anggaran maksimum yang tersedia = Rp100.000

    Secara matematis Biaya konsumsi per pekan ( fungsi tujuan ) dapat dituliskan sebagai berikut :

    J(x,y)    = Px + Qy = 5000x + 10000y   (  Rp/pekan )
    Sedangkan fungsi kendalanya sebagai berikut:
    • Kendala anggaran          Px + Qy <= R       --> 5000x + 10000y £ 100000
    • Kendala karbohidrat       k1 x + k2 >= K    --> 20x + 30y ³ 200
    • Kendala lemak               l1 x + l2 y <= L    --> 15x + 15y £ 250
    • Kendala protein              m1 x + m2 >= M    --> 25x + 25y ³ 200
    Sehingga persamaan garisnya adalah:
    • Kendala anggaran    y = -(P/Q)x + (R/Q) --> y = -0,5x + 10 ;    Titik potong sb : (20 ,0) & ( 0  , 10 )
    • Kendala karbohidrat y = -(k1/k2)x + (K/k2 ->y = -0.67x + 6,7 ;Titik potong sb : (10 , 0) dan               ( 0 , 6.7 )
    • Kendala lemak   y = -(l1/l2)x + (L/l2)   -->y = - x + 16.7 ; Titik potong sb : (16.7  , 0 ) dan ( 0 , 16.7 )
    • Kendala protein     y = -(m1/m2)x + (M/m2) --> y = - x + 8 ; Titik potong sb : ( 8 ,  0) dan ( 0 , 8 )
    Pada gambar dibawah, daerah yang memenuhi syarat sebagai ”feasible solution” adalah bidang ABCDEF sebab memenuhi ke empat kendala (syarat) di atas,Dengan cara yang sama pada kasus I, maka titik optimum (biaya minimum) dieperoleh dengan 2 cara :

    A.       Dengan menggunakan garis profit ( profit line )
    Untuk fungsi tujuan minimasi, maka garis profit y =-1/2x digeser dari titik nol sampai menyinggung titik terdekat pada area layak/daerah solusi (kebalikan untuk fungsi maksimasi). maka titik terdekat dari “feasible solution” yang berimpit dengan garis tersebut adalah titik D. setelah melakukan metode eliminasi (perpotongan garis protein dan karbohidrat) seperti kasus I maka diperoleh kordinat titik D(10 , 0 ) yang merupakan  titik optimum, yang berarti bahwa untuk memenuhi kebutuhan gizi mahasiswa tersebut cukup mengkonsumksi 10 porsi coto dan tidak perlu mengkonsumsi  sop saudara dengan biaya konsumsi minimum Rp50.000  à [J(x, y) = 5000 (10)+10000(0)]

    B.       Dengan titik sudut (corner point)
    Dari grafik, dapat dilihat bahwa ada 5 titik sudut yang membatasi area layak, yaitu titik              A (0, 10), B (0 , 6.7),  C (4, 4), D (10, 0), E (16.7 , 0 ),  dan  F (13.3 , 3.3), kemudian kordinat (dibulatkan) disubsitusi ke fungsi tujuan
    §  Biaya Konsumsi titik A (0, 10) adalah (5000 x 0) + (10000 x 10) = Rp100.000,-.
    §  Biaya Konsumsi titik B (0,  7) adalah (5000 x 0 ) + (10000 x 7) =Rp70.000,-.
    §  Biaya Konsumsi  titik C (4, 4) adalah (5000 x 4) + (10000 x 4) = Rp60.000,-
    §  Biaya Konsumsi titik D (10, 0) adalah (5000 x 10) + (10000 x 0) = Rp50.000,-
    §  Biaya Konsumsi titik E (17, 0) adalah (5000 x 17) + (10000 x 0) = Rp85000,-
    §  Biaya Konsumsi titik F (14, 3) adalah (5000 x 14) + (10000 x 3) = Rp100.000,-
    Sehingga Biaya konsumsi terekecil tiap pekan pada titik D (Rp50.000)

    Dengan Cara yang sama pada Kasus I, diperoleh grafik sebagai berikut :


    Kesimpulan:

    1. Untuk mendapatkan keuntungan maksimum pada kasus I maka harus dibuat 100 buah  roti maros dan 750 buah jalang kote agar diperoleh hasil penjualan maksimal Rp162.500,-
    2.  Untuk memenuhi kebutuhan gizi mahasiswa tersebut cukup mengkonsumksi 10 porsi coto dan tidak perlu mengkonsumsi  sop saudara dengan biaya konsumsi minimum Rp50.000,-
    3. Perbedaan kasus I dan II yaitu untuk kasus I fungsi tujuan dimaksimasi untuk memperloh keuntungan maksimum, sedangkan   kasus II fungsi tujuan diminimasi untuk memperoleh biaya minmum




Comments (0)

Isi Blog ini diposting dari tugas-tugas kuliah, catatan pribadi, dan berbagai bacaan yang bersumber dari buku, internet dll